Question

數列｛x_n｝由下列條件確定：x₁=a＞0，x_n＋1=（x_n＋），n∈N^*．

（Ⅰ）證明：對n≥2，總有x_n≥；

（Ⅱ）證明：對n≥2，總有x_n≥x_n＋1；

（Ⅲ）若數列｛x_n｝的極限存在，且大于零，求x_n的值.

 

Answer 1

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：由x1=a＞0，及xn＋1=（xn＋），可歸納證明xn＞0 從而有xn＋1=（xn＋）≥（n∈N）， 所以，當n≥2時，xn≥成立． （Ⅱ）證法一：當n≥2時，因為xn≥＞0，xn＋1=， 所以xn＋1－xn=≤0， 故當n≥2時，xn≥xn＋1成立． 證法二：當n≥2時，因為xn≥＞0，xn＋1=， 所以=1， 故當n≥2時，xn≥xn＋1成立． （Ⅲ）解：記，則=A，且A＞0． 由，得， 即A=（A＋）． 由A＞0，解得A=，故．