Question

已知點F₁，F₂為雙曲線C：x²-=1（b＞0）的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點M，且∠MF₁F₂=30°，圓O的方程為x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過圓O上任意一點Q（x，y）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點，AB中點為M，求證：|AB|=2|OM|；
（3）過雙曲線C上一點P作兩條漸近線的垂線，垂足分別是P₁和P₂，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，從而可得雙曲線C的方程；
（2）分類討論：①當切線l的斜率存在，設切線l的方程代入雙曲線C中，利用韋達定理，結合直線l與圓O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②當切線l的斜率不存在時，求出A，B的坐標，即可得到結論；
（3）確定兩條漸近線方程，設雙曲線C上的點P（x，y），求出點P到兩條漸近線的距離，利用P（x，y）在雙曲線C上，及向量的數量積公式，即可求得結論．
解答：（1）解：設F₂，M的坐標分別為（），（）（y＞0）-------------------（1分）
因為點M在雙曲線C上，所以1+b²-=1，即，所以|MF₂|=b²------------（2分）
在直角△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF₂|=b²，所以|MF₁|=2b²------------（3分）
由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2
故雙曲線C的方程為：-------------------（4分）
（2）證明：①當切線l的斜率存在
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：y=kx+n（k≠）
代入雙曲線C中，化簡得：（2-k²）x²-2knx-（n²+2）=0
所以|AB|==×-------------------（6分）
因為直線l與圓O相切，所以，代入上式，得|AB|=-----------（7分）
設點M的坐標為（x_M，y_M），則x_M=，y_M=，
所以|OM|=-------------------（8分）
即|AB|=2|OM|成立
②當切線l的斜率不存在時，A（），B（）或A（），B（）
此時|AB|=2，|OM|=，即|AB|=2|OM|成立-------------------（10分）
（3）解：由條件可知：兩條漸近線分別為l₁：，l₂：-------------------（11分）
設雙曲線C上的點P（x，y），則點P到兩條漸近線的距離分別為，
所以=-------------------（13分）
因為P（x，y）在雙曲線C上，所以
故=-------------------（14分）
設和的夾角為θ，則cosθ==-------------------（15分）
所以=cosθ=-------------------（16分）
點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．