Question

定義平面向量的一種運算：ab＝|a||b|sin 〈a，b〉，則下列命題：①ab＝ba；②λ(ab)＝(λa) b；③(a＋b)?c＝(ac)＋(bc)；④若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，則ab＝|x₁y₂－x₂y₁|.其中真命題是________________________(寫出所有真命題的序號)．

Answer 1

①④

由定義知ba＝|b||a|sin 〈a，b〉＝ab，所以①正確．②當λ<0時，〈λa，b〉＝π－〈a，b〉，所以?b＝|λa||b|sin 〈λa，b〉＝－λ|a||b|sin 〈a·b〉，而λ(ab)＝λ|a||b|sin 〈a，b〉，所以②不成立．③因為a＋b＝0顯然不成立，所以③不成立．④(ab)²＝|a|²·|b|²sin ²〈a，b〉＝|a|²·|b|²(1－cos ²〈a，b〉)＝|a|²·|b|²－|a|²·|b|²cos ²〈a，b〉＝|a|²·|b|²－(a·b)²＝－＝，所以ab＝|x₁y₂－x₂y₁|，所以④成立．