Question

【題目】已知函數 ，在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函數f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函數f（x）的值域；
（Ⅲ）若 ，且 ，求f（x0+1）的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可得：f（x）=6 + sinωx﹣3（ω＞0） =3cosωx+ sinωx
=2 sin（ωx+ ），
又由于正△ABC的高為2 ，則BC=4，
∴函數f（x）的周期T=4×2=8，即 =8，
∴ω=
∴函數的值域為[﹣2 ，2 ]
（Ⅱ）∵0≤x≤1，
∴ ≤ x+ ≤ + ，
≤sin（ x+ ）≤1，
3≤2 sin（ + ）≤2
∴函數f（x）的值域為[3，2 ]
（Ⅲ）因為f（x0）= 由（Ⅰ）有f（x0）=2 sin（ + ）= ，即sin（ + ）= ，
由x0∈（﹣ ， ）得：（ + ）∈（﹣ ， ），
所以，cos（ + ）= =
故f（x0+1）=2 sin（ + + ）=2 sin[（ + ）+ ]=2 sin[（ + ）cos +cos（ + ）sin
=2 （ × + × ）=
【解析】（Ⅰ）將f（x）化簡為f（x）=2 sin（ωx+ ），由正三角形△ABC的高為2 可求得BC，從而可求得其周期，繼而可得ω 及函數f（x）的值域；（Ⅱ）由0≤x≤1，可求得 x+ ∈[ ， ]，利用正弦函數的性質可求得函數f（x）的值域；（Ⅲ）由x0∈（﹣ ， ）可求得（ + ）∈（﹣ ， ），從而可求得cos（ + ），最后利用兩角和的正弦即可求得f（x0+1）的值．
【考點精析】利用兩角和與差的正弦公式和二倍角的余弦公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩角和與差的正弦公式：；二倍角的余弦公式：．