Question

一農民有基本農田2畝，根據往年經驗，若種水稻，則每季每畝產量為400公斤；若種花生，則每季每畝產量為100公斤．但水稻成本較高，每季每畝240元，而花生只需80元，且花生每公斤5元，稻米每公斤賣3元．現該農民手頭有400元，兩種作物各種多少，才能獲得最大收益？

Answer 1

分析：先設該農民種x畝水稻，y畝花生時，能獲得利潤z元，根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，目標函數表示直線在y軸上的截距的420倍，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．

解答：解：設該農民種x畝水稻，y畝花生時，能獲得利潤z元．
則z=（3×400-240）x+（5×100-80）y=960x+420y
即y=-

16

7

x+

z

420

…（2分）

x+y≤2 240x+80y≤400 x≥0 y≥0

即  

x+y≤2 3x+y≤5 x≥0 y≥0

…（4分）
作出可行域如圖陰影部分所示，…（8分）
作出基準直線y=-

16

7

x，在可行域內平移直線y=-

16

7

x+

z

420

，
可知當直線過點B時，縱截距

z

420

有最大值，…（10分）
由

x+y=2 3x+y=5

解得B(

3

2

，

1

2

)，…（12分）
故當x=1.5，y=0.5時，z_max=1650元，…（13分）
答：該農民種1.5畝水稻，0.5畝花生時，能獲得最大利潤，最大利潤為1650元．…（14分）

點評：本題主要考查了簡單的線性規劃在實際生活中的應用，以及利用幾何意義求最值．在解決線性規劃的問題時，我們常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域②求出可行域各個角點的坐標③將坐標逐一代入目標函數④驗證，求出最優解．