Question

【題目】已知圓的圓心為，且截軸所得的弦長為.

（1）求圓的方程；

（2）設圓與軸正半軸的交點為，過分別作斜率為的兩條直線交圓于兩點，且，試證明直線恒過一定點，并求出該定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】【試題分析】（1）設圓的半徑為，利用弦長和勾股定理，列方程可求得半徑為，進而求得圓的方程.（2）在圓方程中，令求得點坐標.寫出直線的方程，聯立直線方程和圓的方程求得點的坐標，同理求得點的坐標，求出直線的斜率，從而得到直線的方程，化簡整理后可得定點為.

【試題解析】

（1）設圓的半徑為，則，所以，

所以圓的方程為.

（2）在中，令得，解得或，所以

設， ，直線的方程為，

由，得，

所以，即，

所以

所以，因為，所以，

用代替，得，所以

故直線的方程為.

整理得

即，所以直線恒過一定點，定點為.