Question

已知橢圓(a>b>0)經過點M(，1)，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知點P(，0)，若A，B為已知橢圓上兩動點，且滿足，試問直線AB是否恒過定點，若恒過定點，請給出證明，并求出該定點的坐標；若不過，請說明理由．

Answer 1

(1)  (2) 直線經過定點

解析試題分析：(1) 橢圓(a>b>0)經過點M(，1) , 
且有 ，通過解方程可得從而得橢圓的標準方程.
(2) 設當直線與軸不垂直時，設直線的方程為
由 
另一方面：
 
通過以上兩式就不難得到關于的等式，從而探究直線是否過定點；
至于直線AB斜率不存在的情況，只需對上面的定點進行檢驗即可.
試題解析：
解：(1)由題意得①
因為橢圓經過點，所以②
又③
由①②③解得
所以橢圓方程為.                              4分
(2)解：①當直線與軸不垂直時，設直線的方程為
代入，消去整理得            6分
由得（*）
設則
所以， 
=                 8分
得 

整理得 
從而 且滿足（*）
所以直線的方程為                      10分
故直線經過定點                           2分
②當直線與軸垂直時，若直線為 ，此時點 、 的坐標分別為
 、，亦有                12分
綜上，直線經過定點.                        13分
考點：1、橢圓的標準方程；2、向量的數量積；3、直線與橢圓的位置關系.