Question

【題目】如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝2，∠ACB＝90°，點M在線段A1B1上.

（1）若A1M＝3MB1，求異面直線AM和A1C所成角的余弦值；

（2）若直線AM與平面ABC1所成角為30°，試確定點M的位置.

Answer 1

【答案】（1）；（2）線段A1B1的中點．

【解析】

試題分析：本題考查用空間向量法解決立體幾何問題，最簡單的方法是建立空間直角坐標系，如以C為坐標原點，分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點坐標，（1）求得相應向量，異面直線AM和A1C所成角的余弦值就是cos〈，〉的絕對值；（2）先求得平面ABC1的法向量為n，因為點M在線段A1B1上，可設M(x,4－x,2)，利用法向量n與向量的夾角（銳角）與直線和平面所成的角互余可得，即由|cos〈n，〉|＝可求得，從而確定的位置．

試題解析:方法一　(坐標法)

以C為坐標原點，分別以CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,2)，B1(0,4，2).

(1)因為A1M＝3MB1，所以M(1,3,2).

所以＝(4,0,2),＝(－3,3,2).

所以cos〈，〉＝＝－.

所以異面直線AM和A1C所成角的余弦值為.

(2)由A(4,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,2)，

知＝(－4,4,0)，＝(－4,0,2).

設平面ABC1的法向量為n＝(a，b，c)，

由得

令a＝1，則b＝1，c＝，

所以平面ABC1的一個法向量為n＝(1,1，).

因為點M在線段A1B1上，所以可設M(x,4－x,2)，

所以＝(x－4,4－x,2).

因為直線AM與平面ABC1所成角為30°，

所以|cos〈n，〉|＝sin 30°＝.

由|n|＝|n||||cos〈n，〉|，得

|1 (x－4)＋1 (4－x)＋2|

＝2，

解得x＝2或x＝6.

因為點M在線段A1B1上，所以x＝2，

即點M(2,2,2)是線段A1B1的中點.

方法二　(選基底法)

由題意得CC1⊥CA，CA⊥CB，CC1⊥CB，取，，作為一組基底，

則有||＝||＝4，||＝2，

且＝＝＝0.

(1)由＝3，則＝＝＝－，

∴＝＋＝＋－，

且||＝

＝－－，且||＝2，

∴＝4

∴cos〈，〉＝＝.

即異面直線AM與A1C所成角的余弦值為.

(2)設A1M＝λA1B1，則＝＋λ－λ.

又＝－，＝－，

設面ABC1的法向量為n＝x＋y＋z，

則＝8z－16x＝0，＝16y－16x＝0，

不妨取x＝y＝1，z＝2，

則n＝＋＋2且|n|＝8，

||＝，＝16，

又AM與面ABC1所成的角為30°，則應有

＝＝，

得λ＝，即M為A1B1的中點.