Question

若數列{a_n}滿足a_n+T=a_n，其中T為非零正常數，則稱數列{a_n}為周期數列，T為數列{a_n}的周期．
（Ⅰ）設{b_n}是周期為7的數列，其中b₁，b₂，…，b₇是等比數列，且b₂=3，b₄=7，求b₂₀₁₄；
（Ⅱ）設{c_n}是周期為7的數列，其中c₁，c₂，…，c₇是等比數列，且c₁=1，c₁₁=8，對于（Ⅰ）中數列{b_n}，記S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n，若S_n＞2014，求n的最小值．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與函數的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（I）利用已知條件，求出等差數列的公比，利用等差數列的通項公式求出通項，從而求出b₂₀₁₄．
（II）根據條件得到S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）2 ^n-1 由于（2n-1）2^n-1是有一等差數列{2n-1}與等比數列{2^n-1}的積構成的數列，利用錯位相減的方法求出前n項和，最后求得S_n＞2014時n的最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵b₂=3，b₄=7，∴d=2，
∴b_n=b₂+（n-2）×2=2n-1（n≤7），
∴b₂₀₁₄=b_287×7+5=b₅=9．
（Ⅱ）c₁=1，c₄=8，∴q³=8，q=2，
當n≤7時，S_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n=1•1+3•2+5•2²+…+（2n-1）2 ^n-1  ①
2S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）2 ^n-1    ②
①-②得
-S_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
=1+

4(2n-1-1)

2-1

-（2n-1）2ⁿ
=-3-（2n-3）2ⁿ
∴S_n=3+（2n-3）2ⁿ（n≤7）
由S₇=1411，S₆=579，知S₁₃=S₇+S₆=1411+579=1990＜2014，S₁₄=2S₇=2×1411=2822＞2014
所以滿足S_n＞2014，n的最小值14．

點評：本題考查等差數列與等比數列的通項公式、數列求和等知識，考查學生運算能力、推理能力、分析問題的能力，中等題．