Question

設數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，b₁=0且

an+1=2an+3bn bn+1=an+2bn

n=1，2，3，…
（Ⅰ）求λ的值，使得數列{a_n+λb_n}為等比數列；
（Ⅱ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）令數列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為S_n和S'_n，求極限

lim

n→∞

Sn

S′n

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令c_n=a_n+λb_n，其中λ為常數，通過{c_n}為等比數列，則存在q≠0使得c_n+1=a_n+1+λb_n+1=q（a_n+λb_n）．
推出（2+λ-q）a_n+（3+2λ-λq）b_n=0，n=1，2，3，然后列出方程組

2+λ-q=0 3+2λ-λq=0

消去q解得λ=±

3

．然后驗證當λ=

3

時，數列{an+

3

bn}為等比數列．即可．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）直接求出數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）令數列{d_n}的通項公式為dn=(2+

3

)n-1，它是公比為p=2+

3

的等比數列，令其前n項和為P_n；令數列{e_n}的通項公式為en=(2-

3

)n-1，它是公比為p′=2-

3

的等比數列，令其前n項和為P'_n．求出

Sn

S′n

，由于

1

p

=

1

2+ 3

=2-

3

，則

lim

n→∞

1

Pn

=0，于是

lim

n→∞

Pn′

Pn

=0，通過

lim

n→∞

P′n=

1

1-(2- 3 )

，然后求解

lim

n→∞

Sn

S′n

=

3

．

解答：解：滿分（12分）．
（Ⅰ）令c_n=a_n+λb_n，其中λ為常數，若{c_n}為等比數列，則存在q≠0使得c_n+1=a_n+1+λb_n+1=q（a_n+λb_n）．
又a_n+1+λb_n+1=2a_n+3b_n+λ（a_n+2b_n）=（2+λ）a_n+（3+2λ）b_n．
所以q（a_n+λb_n）=（2+λ）a_n+（3+2λ）b_n．
由此得（2+λ-q）a_n+（3+2λ-λq）b_n=0，n=1，2，3，（2分）
由a₁=1，b₁=0及已知遞推式可求得a₂=2，b₂=1，把它們代入上式后得方程組

2+λ-q=0 3+2λ-λq=0

消去q解得λ=±

3

．    （4分）
下面驗證當λ=

3

時，數列{an+

3

bn}為等比數列．an+1+

3

bn+1=(2+

3

)an+(3+2

3

)bn=(2+

3

)(an+

3

bn)（n=1，2，3，…），a1+

3

b1=1≠0，從而{an+

3

bn}是公比為2+

3

的等比數列．
同理可知{an-

3

bn}是公比為2-

3

的等比數列，于是λ=±

3

為所求．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結果得an+

3

bn=(2+

3

)n-1，an-

3

bn=(2-

3

)n-1，解得an=

1

2

[(2+

3

)n-1+(2-

3

)n-1]，bn=

3

6

[(2+

3

)n-1-(2-

3

)n-1]．（9分）
（Ⅲ）令數列{d_n}的通項公式為dn=(2+

3

)n-1，它是公比為p=2+

3

的等比數列，令其前n項和為P_n；
令數列{e_n}的通項公式為en=(2-

3

)n-1，它是公比為p′=2-

3

的等比數列，令其前n項和為P'_n．
由第（Ⅱ）問得Sn=

1

2

(Pn+P′n)，S′n=

3

6

(Pn-P′n)．

Sn

S′n

=

3

•

Pn+P′n

Pn-P′n

=

3

•

1+ P′n Pn

1- P′n Pn

．
由于數列{e_n}的公比0＜2-

3

＜1，則

lim

n→∞

P′n=

1

1-(2- 3 )

．

1

Pn

=

1-p

1-pn

=

( 1 p )n-( 1 p )n-1

( 1 p )n-1

，
由于

1

p

=

1

2+ 3

=2-

3

，則

lim

n→∞

1

Pn

=0，
于是

lim

n→∞

Pn′

Pn

=0，所以

lim

n→∞

Sn

S′n

=

3

（12分）

點評：本小題主要考查數列的概念與性質，等比數列的證明，待定系數法，數列求和與數列極限，考查思維能力、運算能力和綜合解題的能力．