Question

如圖四面體ABCD中，O，E分別是BD，BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

（1）求證：直線BD⊥平面AOC
（2）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．然后證明直線BD⊥平面AOC．
（2）設點E到平面ACD的距離為h．在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，通過體積相等轉化S_△ACD=S_△CDE，由此能求出點E到平面ACD的距離．

解答：解：（1）證明：連接OC，∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
∵AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩OC=O，
∴直線BD⊥平面AOC．（6分）
（2）解：設點E到平面ACD的距離為h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE，∴

1

3

h．S_△ACD=

1

3

•AO•S_△CDE．…（9分）
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S_△ACD=

1

2

×

2

×

4-( 2 2 )2

=

7

2

，
∵AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴h=

AO•S△CDE

S△ACD

=

1× 3 2

21 7

=

21

7

，
∴點E到平面ACD的距離為

21

7

．（6分）

點評：本題考查點、線、面間的距離的計算，直線與平面垂直的判斷，考查空間想象力和等價轉化能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意化立體幾何問題為平面幾何問題．