Question

（2000•上海）已知函數f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞），
（1）若a=

1

2

，求f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=

1

2

時，函數為f(x)=x+

1

2x

+2，f在[1，+∞）上為增函數，故可求得函數f（x）的最小值
（2）問題等價于f（x）=x²+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立，利用分類參數法，通過求函數的最值，從而可確定a的取值范圍

解答：解：（1）因為f(x)=x+

1

2x

+2，f（x）在[1，+∞）上為增函數，
所以f（x）在[1，+∞）上的最小值為f（1）=

7

2

．…（6分）
（2）問題等價于f（x）=x²+2x+a＞0，在[1，+∞）上恒成立．
即a＞-（x+1）²+1在[1，+∞）上恒成立．
 令g（x）=-（x+1）²+1，則g（x）在[1，+∞）上遞減，當x=1時，g（x）_max=-3，所以a＞-3，
即實數a的取值范圍是（-3，+∞）．…（6分）

點評：本題以函數為載體，考查對勾函數門課程二次函數的最值，考查恒成立問題的處理，注意解題策略．