Question

已知函數滿足下列條件：
（Ⅰ）定義域為[0，1]；
（Ⅱ）對于任意，且f（1）=1；
（Ⅲ）當時，成立。
（1）求f（0）的值；
（2）證明：對于任意的，都有f（x）≤f（y）成立；
（3）當0≤x≤1時，探究f（x）與2x的大小關系，并證明你的結論。

Answer 1

（1）解：由函數滿足條件（Ⅱ）知，
在條件（Ⅲ）中，令得：，
∴，
故。
（2）證明：對于任意的，有成立，
由滿足條件（Ⅱ）可得：，
再由滿足條件（Ⅲ）可得：，
即對于任意的，都有成立；
（3）解：當時，，由（2）知，
∴；
當x=0時，，知也成立，
故可猜想：當時，，
下面用反證法證明猜想成立：
假設存在，使，
由知，故必存在正整數，使得，
∴均在[0，1]上，
由條件（Ⅲ）及假設知：，
故；
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，與矛盾，故假設不成立；
所以對于任意的，都有成立。