Question

已知函數f（x）=|

1

x

-1|，若存在正實數a，b（a＜b），使得集合{y|y=f（x），a≤x≤b}=[ma，mb]，則m的取值范圍為（　　）

• A、（0，

  1

  4

  ）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（

  1

  4

  ，

  1

  2

  ）
• D、（

  1

  4

  ，+∞）

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用

分析：由已知可看出，應該在R⁺上研究該函數的性質，因為涉及到了函數f（x）的值域，所以應該從函數的單調性入手．

解答： 解：由已知f（x）=

1 x -1，   0＜x＜1 1- 1 x ，    x≥1

，且m＞0，
∴由已知f（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，
若0＜a＜1＜b，則f（x）_min=f（1）=0，
則m=0，顯然不符合題意，
∴0＜a＜b≤1，或1＜a＜b，
當0＜a＜b≤1時，f（x）在（0，1]遞減，∴

f(b)=ma f(a)=mb

，
即

1-b=mab 1-a=mab

，∴a=b，與題設矛盾；
當1＜a＜b時，f（x）在[1，+∞）上遞增，∴

f(a)=ma f(b)=mb

，
即

a-1=ma2 b-1=mb2

，∴a，b是方程mx²-x+1=0（m＞0）在（1，+∞）上的兩個互異實根，
∴

1-4m＞0 m×12-1+1＞0 1 2m ＞0

，
解得0＜m＜

1

4

．
故選A

點評：本題先把函數的絕對值符號去掉，然后從單調性入手，將問題轉化為一個在指定區間上方程的根得存在性問題，同時用到了分類討論思想，具有一定的難度．