Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2

3

，動點P在對角線BD₁上，過點P作垂直于BD₁的平面α，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長為y，設BP=x，則當x∈[1，5]時，函數y=f（x）的值域為（　　）

• A、[2

  6

  ，6

  6

  ]
• B、[2

  6

  ，18]
• C、[3

  6

  ，18]
• D、[3

  6

  ，6

  6

  ]

Answer 1

分析：求出正方體的對角線長，根據x∈[1，5]，可得x=1或5時，三角形的周長最小；x=2或4時，三角形的周長最大，從而可得結論．

解答：解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2

3

，
∴正方體的對角線長為6，
∵x∈[1，5]，
∴x=1或5時，三角形的周長最小，設截面正三角形的邊長為t，則由等體積可得

1

3

•

3

4

t2•1=

1

3

•

1

2

•(

2

2

t)3，
∴t=

6

，∴y_min=3

6

；
x=2或4時，三角形的周長最大，截面正三角形的邊長為2

6

，∴y_max=6

6

．
∴當x∈[1，5]時，函數y=f（x）的值域為[3

6

，6

6

]．
故選D．

點評：本題考查正方體的截面問題，考查學生分析解決問題的能力，確定三角形周長取最大、最小時的位置是關鍵．