Question

如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：MN⊥CD；
（3）若∠PDA=45°，求證：平面BMN⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PD 的中點E，連接AE、EN，根據三角形中位線的性質，我們可得四邊形AMNE為平行四邊形，即MN∥AE，進而根據線面平行的判定定理得到MN∥平面PAD．
（2）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，根據線面垂直的性質及矩形的性質，可得PA⊥AB，AD⊥AB，由線面垂直的判定定理得AB⊥平面PAD，結合線面垂直的判定定理及性質，即可得到MN⊥CD；
（3）由已知中PA⊥矩形ABCD所在的平面，∠PDA=45°，E 是PD 的中點，可得MN⊥PD，MN⊥CD，由線面線面垂直的判定定理得MN⊥平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得面BMN⊥平面PCD．

解答：證明：（1）如圖所示，取PD 的中點E，連接AE、EN，
則有EN=

1

2

CD=

1

2

AB=AM，EN∥CD∥AB∥AM，
故AMNE 是平行四邊形，
∴MN∥AE，
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AD⊥AB，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AE，即AB⊥MN，
又CD∥AB，
∴MN⊥CD．
（3）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AD，又∠PDA=45°，E 是PD 的中點，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD，
又MN⊥CD，
∴MN⊥平面PCD，
∵MN?平面BMN
∴平面BMN⊥平面PCD．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面平行及垂直的判定和性質是解答本題的關鍵．