Question

在數列{a_n}中，已知a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想數列{a_n}的通項公式a_n的表達式；
（2）用適當的方法證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）利用a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，n分別取2，3，4，可求出a₂，a₃，a₄，并由此猜想數列{a_n}的通項公式；
（2）用數學歸納法證明：①當n=1時，a1=

1

2×1-1

=1，猜想成立；②假設當n=k時成立，利用an+1=

an

1+2an

(n∈N+)，可證得當n=k+1時猜想也成立，故可得結論．

解答：解：（1）∵a1=1，an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．
∴a2=

1

1+2

=

1

3

…．（1分）
a3=

1 3

1+ 2 3

=

1

5

…（2分）
a4=

1 5

1+ 2 5

=

1

7

…（3分）
由此猜想數列{a_n}的通項公式an=

1

2n-1

(n∈N+)…..（5分）
（2）下面用數學歸納法證明
①當n=1時，a1=

1

2×1-1

=1，猜想成立…..（6分）
②假設當n=k（k∈N⁺，k≥1）猜想成立，即ak=

1

2k-1

…．（7分）
∵an+1=

an

1+2an

(n∈N+)．…（8分）
∴ak+1=

ak

1+2ak

=

1 2k-1

1+ 2 2k-1

=

1

2k+1

…（12分）
即當n=k+1時猜想也成立…..（13分）
根據①和②，可知猜想對任何n∈N⁺都成立…..（14分）
（用其他方法正確證明也給分）

點評：本題以數列遞推式為載體，考查數列的通項的猜想與證明，解題的關鍵是利用數學歸納法證明，尤其第二步的證明．