Question

（16分）已知A（-1，2）為拋物線C：y=2x²上的點，直線l₁過點A且與拋物線C相切，直線l₂:x=a(a＜-1)交拋物線C 于點B，交直線l₁于點D.
（1）求直線l₁的方程；
（2）求△ABD的面積S₁；
（3）求由拋物線C及直線l₁和直線l₂所圍成的圖形面積S₂.

Answer 1

（1）4x+y+2=0（2）-(a+1)³（3）-a³-2a²-2a-

（1）由條件知點A（-1，2）為直線l₁與拋物線C的切點，∵y′=4x,∴直線l₁的斜率k=-4,

∴直線l₁的方程為y-2=-4(x+1),即4x+y+2=0.
(2)點A的坐標為（-1，2），
由條件可得點B的坐標為（a，2a²），
點D的坐標為（a，-4a-2），
∴△ABD的面積S₁為
S₁=×|2a²-(-4a-2)|×|-1-a|
=|(a+1)³|=-(a+1)³.
(3)直線l₁的方程可化為y=-4x-2,
S₂=［2x²-(-4x-2)］dx=(2x²+4x+2)dx
=[2(x³+x²+x)]| =--2(a³+a²+a)
=-a³-2a²-2a-.