Question

函數(shù)f(x)= |1-

1

x

|（x＞0）．
（1）求f（x）的單調(diào)減區(qū)間并證明；
（2）是否存在正實數(shù)m，n（m＜n），使函數(shù)f（x）的定義域為[m，n]時值域為[

m

6

，

n

6

]？若存在，求m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）按證明一個函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性的基本步驟取點，作差，變形，判斷即可．
（2）有（1）知f（x）在（0，1]減，在[1，+∞）上增，所以對[m，n]分三種情況①m，n∈（0，1]，②m∈（0，1]，n∈[1，+∞），③m，n∈[1，+∞），來討論即可．

解答：解：（1）f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1]（2分）
任取x₁，x₂∈（0，1]且x₁＜x₂（3分）
則f(x1)-f(x2)= |1-

1

x1

|-|1-

1

x2

|（4分）
=( 

1

x1

-1 )-( 

1

x2

-1 )=

x2-x1

x1x2

＞0（6分）
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，1]上為減函數(shù)（7分）

（2）①若m，n∈（0，1]，則f（m）＞f（n）
∴

f(m)= n 6 f(n)= m 6

⇒

|1- 1 m |= n 6 |1- 1 n |= m 6

⇒

1 m -1= n 6 1 n -1= m 6

兩式相減，得

n-m

mn

=

n-m

6

不可能成立（9分）
②若m∈（0，1]，n∈[1，+∞），則f（x）的最小值為0，不合題意（10分）
③若m，n∈[1，+∞），則f（m）＜f（n）
∴

f(m)= m 6 f(n)= n 6

⇒

|1- 1 m |= m 6 |1- 1 n |= n 6

；
∴

1- 1 m = m 6 1- 1 n = n 6

；∴m，n為1-

1

x

=

x

6

的不等實根
∴m=3-

3

，n=3+

3

綜上，存在m=3-

3

，n=3+

3

符合題意．（12分）

點評：本題綜合考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明以及對函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是一道不可多得的好題．