Question

（2010四川理數）（20）（本小題滿分12分）

已知定點A(－1，0)，F(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由.【來源：全,品…中&高*考+網】

本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎知識，考察平面機襲擊和的思想方法及推理運算能力.

Answer 1

解：(1)設P(x,y)，則

化簡得x²－=1(y≠0)………………………………………………………………4分

(2)①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)

與雙曲線x²－=1聯立消去y得【來源：全,品…中&高*考+網】

(3－k)²x²＋4k²x－(4k²＋3)＝0

由題意知3－k²≠0且△＞0

設B(x₁,y₁),C(x₂,y₂)，

則

y₁y₂＝k²(x₁－2)(x₂－2)＝k²[x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4]

   ＝k²(＋4)

   ＝【來源：全,品…中&高*考+網】

因為x₁、x₂≠－1

所以直線AB的方程為y＝(x＋1)

因此M點的坐標為()

,

同理可得【來源：全,品…中&高*考+網】

因此

            ＝

            ＝0

②當直線BC與x軸垂直時，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)

AB的方程為y＝x＋1,因此M點的坐標為()，

同理可得

因此＝0【來源：全,品…中&高*考+網】

綜上＝0，即FM⊥FN

故以線段MN為直徑的圓經過點F………………………………………………12分