Question

已知數列{f（n）}滿足nf²（n）-（n-1）f²（n-1）+f（n）f（n-1）=0且f（n）＞0
（1）求{f（n）}的通項公式；
（2）令a_n=3^1/f（n），b_n=4/f（n）+1（n∈N^*），若在數列{a_n}的前100項中，任取一項a_n，問a_n同
時也在數列是的某項的概率為多少？為什么？
（3）若將（2）中的前100項推廣到前n項（n∈N^*），且記上述概率為P_n，試猜測

lim

n→∞

Pn（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）先將足nf²（n）-（n-1）f²（n-1）+f（n）f（n-1）=0化簡成（nf（n）-（n-1）f（n-1））（f（n）+f（n-1））=0，而f（n）＞0則nf（n）=（n-1）f（n-1），最好根據f（1）=1可求出{f（n）}的通項公式；
（2）先求出{a_n}、{b_n}的通項公式，然后討論n的奇偶，從而可求出在數列{a_n}的前100項中，任取一項a_n，則a_n同時也在數列是的某項的概率；
（3）分別求出當n為奇數時與偶數時的概率P_n，然后根據極限的定義求出

lim

n→∞

Pn的值即可．

解答：解：（1）由已知（nf（n）-（n-1）f（n-1））（f（n）+f（n-1））=0且f（n）＞0
∴nf（n）=（n-1）f（n-1），
∴nf（n）=（n-1）f（n-1）=…=1•f（1）=1∴f（n）=

1

n

（2）a_n=3ⁿ，b_n=4n+1，當n=2m，∴a_n=9^m=（8+1）^m=…=8Q+1=4（2Q）+1∈{b_n}
當n=2m+1，∴a_n=3（8+1）^m=…=4（6Q）+3∉{b_n}∴在{a_n}中前100項中，所求的概率P=

50

100

=

1

2

（3）∵Pn=

1 2 n-1 2n

(n為偶數) (n為奇數)

∴

lim

n→∞

Pn=

1

2

點評：本題主要考查了數列的通項公式，等可能事件的概率和數列的極限等有關知識，屬于中檔題．