Question

【題目】如圖，已知直三棱柱中，，，，，分別是，，的中點，點在直線上運動，且．

(1)證明：無論取何值，總有平面；

(2)是否存在點，使得平面與平面的夾角為？若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)存在點，且當時，滿足平面與平面的夾角為．

【解析】

(1)以為正交基底建立空間直角坐標系，寫出所需點的坐標，由求出點坐標，然后證明，即可；

(2)只需根據條件出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式并結合平面與平面的夾角為，建立方程求解即可得出結論．

（1）如圖，以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

則,，，，，，

由，可得點，

所以，．

又，所以，，

所以，，又，所以平面，

所以無論取何值，總有平面 ．

（2）設是平面的法向量，，，

則，即，得，

令，所以是平面的一個法向量．

取平面的一個法向量為．

假設存在符合條件的點，則，

化簡得，解得或（舍去）．

綜上，存在點，且當時，滿足平面與平面的夾角為．