Question

已知直線l為拋物線y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，直線AB經(jīng)過F且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．過點(diǎn)A，B做直線l的垂線，垂足分別為C，D，線段CD的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題中錯(cuò)誤的是（　　）

• A、

  CF

  ?

  DF

  =0
• B、

  MF

  ?

  AB

  =0
• C、存在實(shí)數(shù)λ使得

  OA

  =λ

  OD

• D、三角形AMB為等腰三角形

Answer 1

分析：A、由于A，B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知CF=AF，DF=BF，從而由相等的角，由此可判斷CF⊥DF；
B、取AB⊥x軸，則四邊形ABDC為矩形，則可得結(jié)論；
C、取AB⊥x軸，則四邊形ABDC為矩形，則可得結(jié)論；
D、取AB與x軸不垂直，則四邊形ABDC為梯形，則可得結(jié)論．

解答：解：A、由于A，B在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義可知
拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即CA=AF，DB=BF，
因?yàn)镃、D分別為A、B在l上的射影，所以CF⊥DF，故A正確；
B、取AB⊥x軸，則四邊形ABDC為矩形，
則MF在X軸上，故MF⊥AB，故B正確；
C、取AB⊥x軸，則四邊形ABDC為矩形，
則可知AD與CB交于原點(diǎn)，故AD過原點(diǎn)，則C正確；
D、如圖知，若AB與x軸不垂直，則四邊形ABDC為梯形，即得AC≠BD，
又由CM=MD，∠ACM=∠BDM，則AM≠BM，則D錯(cuò)誤．
故答案為D．

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理運(yùn)用拋物線的定義．