Question

求二項(xiàng)式（

3	x

-

2

x

）¹⁵的展開式中：
（1）常數(shù)項(xiàng)；
（2）有幾個(gè)有理項(xiàng)；
（3）有幾個(gè)整式項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）先求出展開式的通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)等于零求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．
（2）在展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)為整數(shù)，可得r為6的倍數(shù)，求出r的值，可得有理項(xiàng)．
（3）在展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù) 5-

5

6

r為非負(fù)整數(shù)，得r的值，可得整式項(xiàng)．

解答：解：展開式的通項(xiàng)為：T_r+1=(-1)r

C

r 15

(

3	x

)15-r(

2

x

)r=(-1)r2r

C

r 15

x

30-5r

6

，
（1）設(shè)T_r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則

30-5r

6

=0，解得r=6，即常數(shù)項(xiàng)為T₇ =2⁶

C

6 15

．
（2）設(shè)T_r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則

30-5r

6

=5-

5

6

r為整數(shù)，∴r為6的倍數(shù)，
     又∵0≤r≤15，∴r可取0，6，12三個(gè)數(shù)，故共有3個(gè)有理項(xiàng)．
（3）5-

5

6

r為非負(fù)整數(shù)，得r=0或6，∴有兩個(gè)整式項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．