Question

在△ABC中，4sinB•sin²（

π

4

+

π

2

）+cos2B=1+

3

．
（1）求角B的大小；（2）若a=4，cosC=sinB，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）把已知等式左邊第一項的第二個因式利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項也利用二倍角的余弦函數公式化簡，去括號合并后，得出sinB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由（1）求得的B的度數，得出sinB的值，進而由cosC=sinB得到cosC的值，可得出C的度數，若B=

π

3

時，得到此時三角形為直角三角形，由30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得出c與b的值，利用兩直角邊乘積的一半即可求出三角形ABC的面積；若B=

2π

3

時，此時三角形為等腰三角形，作出底邊AC上的高BD，根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得出高BD的長，再根據勾股定理及三線合一性質得到AC的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）由4sinB•sin²（

π

4

+

π

2

）+cos2B=1+

3

得：
2sinB•[1-cos（

π

2

+B）]+1-2sin²B=1+

3

，
∴sinB=

1

2

，又∵B是△ABC的內角，
∴B=

π

3

或B=

2π

3

；
（2）∵cosC=sinB，∴cosC=

3

2

，∴C=

π

6

，
若B=

π

3

時，則△ABC為直角三角形，又a=4，

∴c=

1

2

a=2，b=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bc=2

3

；
若B=

2π

3

時，則△ABC為等腰三角形，又a=4，
過B作BD⊥AC，垂足為D，
∴BD=asin30°=2，
∴CD=2

3

，即AC=2DC=4

3

，

∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=4

3

．
綜上所述：△ABC的面積為2

3

或4

3

．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，利用了轉化及數形結合的數學思想，根據B的度數有兩解，可得三角形形狀有兩種，學生做題時要借助圖形來求解，注意不要漏解．