Question

（2011•東城區一模）對于n∈N^*（n≥2），定義一個如下數陣：Ann=

a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann

其中對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，a_ij=1；當i不能整除j時，a_ij=0．
（Ⅰ）當n=4時，試寫出數陣A₄₄；
（Ⅱ）設t(j)=

n

i=1

aij=a1j+a2j+…+anj．若[x]表示不超過x的最大整數，
求證：

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意對任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當i能整除j時，a_ij=1；當i不能整除j時，a_ij=0可得數陣A₄₄；
（Ⅱ）t（j）是數陣A_nn的第j列的和，則

n

j=1

t(j)是數陣A_nn所有數的和，按行相加，根據數陣A_nn的第i行中有[

n

i

]個1，其余是0，即第i行的和為[

n

i

]，可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）依題意可得，A44=

1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1

…（4分）
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數陣A_nn的第j列的和，
因此

n

j=1

t(j)是數陣A_nn所有數的和．
而數陣A_nn所有數的和也可以考慮按行相加．
對任意的1≤i≤n，不超過n的倍數有1i，2i，…，[

n

i

]i．
因此數陣A_nn的第i行中有[

n

i

]個1，其余是0，即第i行的和為[

n

i

]．
所以

n

j=1

t(j)=

n

i=1

[ 

n

i

 ]．…（13分）

點評：本題主要考查了數列的求和，以及新定義，解題的關鍵是弄清數陣A_nn的第i行中有[

n

i

]個1，其余是0，即第i行的和為[

n

i

]，屬于中檔題．