Question

已知在△ABC中，點A、B的坐標分別為（-2，0）和（2，0），點C在x軸上方．
（Ⅰ）若點C的坐標為（2，3），求以A、B為焦點且經過點C的橢圓的方程；
（Ⅱ）若∠ACB=45°，求△ABC的外接圓的方程；
（Ⅲ）若在給定直線y=x+t上任取一點P，從點P向（Ⅱ）中圓引一條切線，切點為Q．問是否存在一個定點M，恒有PM=PQ？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓的定義和AC，BC求得橢圓的長軸，進而根據c求得b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）先用正弦定理可知

AB

sinC

=2R，進而求得R，設出圓心坐標，根據勾股定理求的s，則外接圓的方程可得．
（Ⅲ）假設存在這樣的點M（m，n），設點P的坐標，進而根據PM=PQ，求得關于x的方程，進而列出方程組，消去m，得到關于n的一元二次方程，分別討論當判別式大于0或小于等于0時的情況．

解答：解：（Ⅰ）因為AC=5，BC=3，所以橢圓的長軸長2a=AC+BC=8，
又c=2，所以b=2

3

，故所求橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1
（Ⅱ）因為

AB

sinC

=2R，所以2R=4

2

，即R=2

2

又圓心在AB的垂直平分線上，故可設圓心為（0，s）（s＞0），
則由4+S²=8，所以△ABC的外接圓的方程為x²+（y-2）²=8
（Ⅲ）假設存在這樣的點M（m，n），設點P的坐標為（x，x+t），因為恒有PM=PQ，所以（x-m）²+（x+t-n）²=x²+（x+t-2）²-8，
即（2m+2n-4）x-（m²+n²-2nt+4t+4）=0，對x∈R，恒成立，
從而

2m+2n-4=0 m 2+n 2-2nt+4t+4=0

，消去m，得n²-（t+2）n+（2t+4）=0
因為方程判別式△=t²-4t-12，所以
①當-2＜t＜6，時，因為方程無實數解，所以不存在這樣的點M
②當t≥6或t≤-2時，因為方程有實數解，且此時直線y=x+t與圓相離或相切，故此時這樣的點M存在．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．考查了學生綜合分析問題的能力．