Question

（2009•天門(mén)模擬）已知兩點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），點(diǎn)P是曲線C：

x=1+cosa y=sina

上任意一點(diǎn)，則△ABP面積的最小值是（　　）

• A．3+

  2

• B．2
• C．3
• D．3-

  2

  ．

Answer 1

分析：利用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)即可得出直線AB的方程，|AB|．利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出點(diǎn)P到直線AB的距離d，可得△ABP面積S=

1

2

|AB|•d，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出面積最小值．

解答：解：∵兩點(diǎn)A（-2，0），B（0，2），
∴直線AB的方程為

x

-2

+

y

2

=1，化為x-y+2=0，|AB|=

(-2)2+22

=2

2

．
點(diǎn)P到直線AB的距離d=

|1+cosα-sinα+2||

2

=

| 2 sin(α- π 4 )-3|

2

，
∴△ABP面積S=

1

2

|AB|•d
=

1

2

×2

2

×

| 2 sin(α- π 4 )-3|

2

=|

2

sin(α-

π

4

)-3|，
當(dāng)且僅當(dāng)sin(α-

π

4

)=1時(shí)，S取得最小值3-

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握、截距式、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．