Question

（2013•湛江二模）已知x軸上有一列點P₁，P₂ P₃，…，P_n，…，當n≥2時，點P_n是把線段P_n-1 P_n+1 作n等分的分點中最靠近P_n+1的點，設線段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的長度分別 為a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）求a_n關于n的解析式；
（2 ）證明：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3
（3）設點P（n，a_n） {n≥3），在這些點中是否存在兩個點同時在函數y=

k

(x-1)2

(k＞0) 的圖象上？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于P_n是把P_n-1P_n+1線段作n等分的分點中最靠近P_n+1的點，所以知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1，從而可得

an

an-1

=

1

n-1

，進而利用疊乘即可求出a₂，a₃和a_n的表達式；
（2）對通項進行放縮，再求和，利用等比數列的求和公式即可證明；
（3）假設存在，即可得

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

，再設b_n=

n2

n!

，考查數列{b_n}單調減即可．

解答：（1）解：由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，∴a₂=1，同理a₃=

1

2

，

an

an-1

=

1

n-1

∴a_n=

1

n-1

a_n-1=

1

n-1

•

1

n-2

•a_n-2=…=

1

(n-1)!

（2）證明：∵n≥2時，

1

(n-1)!

=

1

1×2×…×n

≤

1

2n-2

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1+

1

2

+…

1

2n-2

=3-

1

2n-2

＜3
而n=1時，結論成立，故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假設有兩個點A（p，a_p），B（q，a_q），都在函數y=

k

(x-1)2

上，
即a_p=

k

(p-1)2

，a_q=

k

(q-1)2

所以

(p-1)2

(p-1)!

=k，

(q-1)2

(q-1)!

=k，消去k得

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

 ①，
設b_n=

n2

n!

，考查數列{b_n}的增減情況，
∵b_n-b_n-1=

n2

n!

-

(n-1)2

(n-1)!

=-

n2-3n+1

(n-1)!

，
∴當n＞2時，n²-3n+1＞0，所以對于數列{b_n}為遞減數列
∴不可能存在p，q使得①式成立，
∴不存在兩個點同時在函數y=

k

(x-1)2

(k＞0) 的圖象上．

點評：本題以線段為載體，考查數列的通項，考查放縮法的運用，考查函數的單調性，綜合性強，難度較大．