Question

某批發公司批發某商品，每件商品進價80元，批發價120元，該批發商為鼓勵經銷商批發，決定當一次批發量超過100個時，每多批發一個，批發的全部商品的單價就降低0.04元，但最低批發價不能低于102元．求下列問題：
（1）當一次訂購量為x個，每件商品的實際批發價為P元，寫出函數P=f（x）的表達式；
（2）根據市場調查發現，經銷商一次最大定購量為500個，則當經銷商一次批發多少個零件時，該批發公司可獲得最大利潤．

Answer 1

分析：（1）根據題目條件可知該批發價的函數是一分段函數，用分段函數表示出P=f（x）即可；
（2）當經銷商一次批發個零件x時，該批發公司可獲得利潤為y，根據利潤=（批發價-進價）×個數求出利潤函數，然后根據分段函數的最值的求法求出所求．

解答：解：（1）由題意知，0≤x≤100，x∈N時，f（x）=120；100＜x≤550，x∈N時，f（x）=120-0.04（x-100）
∴f（x）=

120，0≤x≤100，x∈N 120-0.04(x-100)，100＜x≤550，x∈N

；
（2）當經銷商一次批發x個零件時，該批發公司可獲得利潤為y，根據題意知：
y=

40x ，0≤x≤100  [40-0.04(x-100)]•x ，100＜x≤500

設f₁（x）=40x（0≤x≤100，x∈N），在x=100時，取得最大值為4000；
設f₂（x）=-0.04x²+44x=-0.04（x-550）²+0.04×550²
因為100＜x≤550，x∈N，所以當x=500時，f₂（x）取最大值21900．      
答：當經銷商一次批發500個零件時，該批發公司可獲得最大利潤．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用，考查二次函數的性質，考查計算能力和建模能力，屬于中檔題．