Question

設函數f(θ)=sinθ+cosθ,其中,角θ的頂點與坐標原點重合,始邊與x軸非負半軸重合,終邊經過點P(x,y),且0≤θ≤π.
(1)若點P的坐標為(,),求f(θ)的值;
(2)若點P(x,y)為平面區域Ω: 上的一個動點,試確定角θ的取值范圍,并求函數f(θ)的最小值和最大值.

Answer 1

(1)2
(2)θ=時,f(θ)取得最大值,且最大值等于2
θ=0時,f(θ)取得最小值,且最小值等于1

解:(1)由點P的坐標和三角函數的定義可得

于是f(θ)=sinθ+cosθ=×+=2.
(2)作出平面區域Ω(即三角形區域ABC)如圖所示,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).
于是0≤θ≤.

又f(θ)=sinθ+cosθ=2sin(θ+),
且≤θ+≤,故當θ+=,
即θ=時,f(θ)取得最大值,且最大值等于2;
當θ+=,
即θ=0時,f(θ)取得最小值,且最小值等于1.