Question

對于各項均為正數且各有m項的數列{a_n}，{b_n}，按如下方法定義數列{t_n}：t₀=0，
tn=

tn-1-an+bn tn-1≥an bn tn-1＜an

（n=1，2…m），并規定數列{a_n}到{b_n}的“并和”為S_ab=a₁+a₂+…+a_n+t_m．
（Ⅰ）若m=3，數列{a_n}為3，7，2；數列{b_n}為5，4，6，試求出t₁、t₂、t₃的值以及數列{a_n}到{b_n}的并和S_ab；
（Ⅱ）若m=4，數列{a_n}為3，2，3，4；數列{b_n}為6，1，x，y，且S_ab=17，求證：y≤5；
（Ⅲ）若m=6，下表給出了數列{a_n}，{b_n}：

如果表格中各列（整列）的順序可以任意排列，每種排列都有相應的并和S_ab，試求S_ab的最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數列{t_n}的定義可知：令n=1，2，3可求得t₁、t₂、t₃的值以及數列{a_n}到{b_n}的并和S_ab；
（Ⅱ）數列{a_n}為3，2，3，4；且S_ab=17，求出t₄，根據數列{t_n}的定義，可求得t₁、t₂、t₃的值，比較t₃和t₄的大小，即可證明y≤5；
（Ⅲ）當1≤n≤6時，由（Ⅱ）知t_n=max{b_n，t_n-1-a_n+b_n}，則t_n≥t_n-1-a_n+b_n，即t_n-t_n-1≥b_n-a_n，采用累加法即可求得關于S_ab的不等式，分類討論求得其最小值．

解答：解：（Ⅰ）由數列{t_n}的定義可知：t₁=b₁=5，
t₂=b₂=4，
t₃=t₂-a₃+b₃=8，
S_ab=a₁+a₂+a₃+t₃=20．
（Ⅱ）證明：由S_ab=17，得t₄=S_ab-（a₁+a₂+a₃+a₄）=5．
而t₁=b₁=6，t₂=t₁-a₂+b₂=5，t₃=t₂-a₃+b₃=x+2，
當t₃＜a₄，即x＜2t₄=b₄=y，則y=5
t₃≥a₄即x≥2有t₄=t₃-a₄+b₄=x-2+y，則y=7-x≤7-2=5，
綜上所述，必有y≤5成立．

（Ⅲ）S_ab的最小值為51，當表格如下排列（記作排列※）時可取到：

當1≤n≤6時，由（Ⅱ）知t_n=max{b_n，t_n-1-a_n+b_n}，
則t_n≥t_n-1-a_n+b_n，即t_n-t_n-1≥b_n-a_n．于是
t₆-t₅≥b₆-a₆，
t₅-t₄≥b₅-a₅，
t₄-t₃≥b₄-a₄，
t₃-t₂≥b₃-a₃，
t₂-t₁≥b₂-a₂．
將上述不等式相加得：
t₆-t₁≥（b₂+b₃+…+b₆）-（a₂+a₃+…+a₆）．
∵S_ab=（a₁+a₂+a₃+…+a₆）+t₆．
∴S_ab≥（a₁+a₂+…+a₆）+t₁+（b₂+b₃+…+b₆）-（a₂+a₃+…+a₆）．
∴S_ab≥a₁+b₁+（b₂+b₃+…+b₆）=46+a₁．①
將前4個不等式相加得t₆-t₂≥（b₃+b₄+b₅++b₆）-（a₃+a₄+a₅+a₆）．
類似地，可整理得S_ab≥t₂+（46-b₁-b₂）+a₁+a₂．②
若a₁≠3，可見a₁≥5，由①得S_ab≥46+a₁≥51；
若a₁=3，則b₁=1，那么t₁=b₁=1＜a₂，故t₁=b₂．
此時由②得S_ab≥t₂+（46-b₁-b₂）+a₁+a₂=46-b₁+a₁+a₂=48+a₂≥53．
綜上所述，S_ab≥51總是成立的．

點評：考查學生理解數列概念，靈活運用數列表示法的能力，旨在考查學生的觀察分析和歸納能力，特別是問題（Ⅲ）的設置，增加了題目的難度，同時也考查了分類討論的思想，屬難題．