Question

在二項式（

1

2

+2x）ⁿ的展開式中，若前三項的二項式系數(shù)和等于79，（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項？（2）求展開式中系數(shù)最大的項是第幾項？

Answer 1

分析：（1）二項式（

1

2

+2x）ⁿ的展開式中，若前三項的二項式系數(shù)和等于79，可利用此關(guān)系建立方程求出n的值，再由二項式系數(shù)的性質(zhì)求出系數(shù)最大的項．
（2）展開式中系數(shù)最大的項滿足

C k 12 ×4k≥ C k-1 12 ×4k-1 C k 12 ×4k≤ c k+1 12 ×4k+1

，解這個不等式組求出參數(shù)k的取值范圍，判斷出系數(shù)最大時k的值即可得出系數(shù)最大的項．

解答：解：（1）C_n⁰+C_n¹+C_n²+=79，
∴n²+n-156=0=0
∴n=12，
T₇=

C

6 12

×(

1

2

)6×(2x)6=924x⁶
∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為924x⁶
（2）設(shè)T_k+1項系數(shù)最大，由(

1

2

+2x)12=(

1

2

)12×(1+4x)12
∴

C k 12 ×4k≥ C k-1 12 ×4k-1 C k 12 ×4k≤ c k+1 12 ×4k+1

∴9.4＜k＜10.4，∴k=10 所以系數(shù)最大的項是第11項．

點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解二項式系數(shù)最大的項與系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式定理建立起方程或不等式，求解問題，二項式中系數(shù)最大的項的求法就是比較相鄰的項，題后注意總結(jié)這個方法．