Question

已知函數f（x）=(2n-n2)x2n2-n，(n∈N*)在（0，+∞）是增函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=

f2(x)+m2

f(x)

(m＞0)，試判斷g（x）在（0，+∞）上的單調性，并加以證明．

Answer 1

由題意（1）

2n-n2＞0 2n2-n＞0

或

2n-n2＜0 2n2-n＜0

⇒

1

2

＜n＜2或∅；
∵n∈N^*∴n=1⇒f（x）=x；
（2）g(x)=

x2+m2

x

=x+

m2

x

設0＜x₁＜x₂，則g(x1)-g(x2)=…=

x1-x2

x1x2

(x1x2-m2)；
若0＜x₁＜x₂≤m，則x₁x₂＜m²；若m≤x₁＜x₂，則x₁x₂＞m²；而x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0
當0＜x₁＜x₂≤m時，g（x₁）＞g（x₂）；當m≤x₁＜x₂時，g（x₁）＜g（x₂）
因此，g（x）在（0，m]上單調遞減；g（x）在[m，+∞）上單調遞增；