Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，點(diǎn)（S_n+1，S_n）在直線(xiàn)-=1，其中n∈N^*
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)T_n=+-2，證明：≤T₁+T₂+T₃+…+Tn＜3．

Answer 1

（I）解：∵點(diǎn)（S_n+1，S_n）在直線(xiàn)-=1，∴
∴數(shù)列{}構(gòu)成以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴=2+（n-1）=n+1
∴S_n=n²+n
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，而a₁=2
∴a_n=2n；
（II）證明：∵S_n=n²+n
∴T_n=+-2=，
∵n∈N^*，∴T_n＞0
∴T₁+T₂+T₃+…+T_n＞
∵T₁+T₂+T₃+…+T_n=2[（1-）+（-）+…+（）]=3＜3
∴≤T₁+T₂+T₃+…+T_n＜3．
分析：（I）根據(jù)點(diǎn)（S_n+1，S_n）在直線(xiàn)-=1，可得，從而數(shù)列{}構(gòu)成以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，由此可得S_n=n²+n，再寫(xiě)一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）T_n=+-2=，利用T_n＞0及疊加法，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求和，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確運(yùn)用求和的方法．