Question

【題目】設函數，曲線在點處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，.

【解析】

（1）將點代入切線方程得出，求出函數的導數，由列出有關、的方程組，解出、，可得出函數的解析式；

（2）設點為函數圖象上任意一點的坐標，利用導數求出函數在該點處的切線方程，求出切線與軸和直線的交點坐標，再利用三角形的面積來證明結論.

（1）將點的坐標代入直線的方程得，

，則，直線的斜率為，

于是，解得，故；

（2）設點為曲線上任意一點，由（1）知，

，又，

所以，曲線在點的切線方程為，

即，

令，得，從而得出切線與軸的交點坐標為，

聯立，解得，

從而切線與直線的交點坐標為.

所以，曲線在點處的切線與直線、所圍成的三角形的面積為

故曲線上任一點處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為定值且此定值為.