Question

已知函數f（x）=log₂

1-x

1+x

．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）若關于x的方程f（x）=log₂（x-k）有實根，求實數k的取值范圍；
（3）問：方程f（x）=x+1是否有實根？如果有，設為x₀，請求出一個長度為

1

8

的區間（a，b），使x₀∈（a，b）；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的定義域，看是否關于原點對稱，再計算f（-x），利用

1+x

1-x

=（

1-x

1+x

） ^-1可得f（-x）=-f（x），從而得到函數為奇函數；
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有實根，也就是方程

1-x

1+x

=x-k即k=x-

1-x

1+x

在（-1，1）內有解，從而得出實數k屬于函數y=x-

1-x

1+x

=x+1-

2

1+x

在（-1，1）內的值域．下面利用換元法求出其值域即可得到實數k的取值范圍；
（3）設g（x）=f（x）-x-1=log₂

1-x

1+x

-x-1（-1＜x＜1）．用“二分法”逐步探求，先算區間（-1，1）的中點g（0）=-1＜0，由于g（x）在（-1，1）內單調遞減，于是再算區間（-1，0）的中點g（-

1

2

）=log₂3-

1

2

＞0，然后算區間（-

1

2

，0）的中點 g（-

1

4

）＜0，最后算區間（-

1

2

，-

1

4

）的中點g（-

3

8

）＞0．

解答：解：（1）由

1-x

1+x

＞0得-1＜x＜1，所以函數f（x）的定義域為（-1，1）；              （2'）
因為f（-x）+f（x）=log₂

1+x

1-x

+log₂

1-x

1+x

=log₂

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=log₂1=0，
所以f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函數．                                       （4'）
（2）方程f（x）=log₂（x-k）有實根，也就是方程

1-x

1+x

=x-k即k=x-

1-x

1+x

在（-1，1）內有解，
所以實數k屬于函數y=x-

1-x

1+x

=x+1-

2

1+x

在（-1，1）內的值域．                  （6'）
令x+1=t，則t∈（0，2），因為y=t-

2

t

在（0，2）內單調遞增，所以t-

2

t

∈（-∞，1）．
故實數k的取值范圍是（-∞，1）．                                            （8'）
（3）設g（x）=f（x）-x-1=log₂

1-x

1+x

-x-1（-1＜x＜1）．
因為(

5

3

)4=

625

81

＜8=23，且y=log₂x在區間（0，+∞）內單調遞增，所以log₂(

5

3

)4＜log₂2³，
即4log₂

5

3

＜3，亦即log₂

5

3

＜

3

4

．
于是g（-

1

4

）=log₂

5

3

-

3

4

＜0．                 ①（10'）
又∵g（-

3

8

）=log₂

11

5

-

5

8

＞1-

5

8

＞0．                                    ②（12'）
由①②可知，g（-

1

4

）•g（-

3

8

）＜0，
所以函數g（x）在區間（-

3

8

，-

1

4

）內有零點x₀．
即方程f（x）=x+1在（-

3

8

，-

1

4

）內有實根x₀．                                  （13'）
又該區間長度為

1

8

，因此，所求的一個區間可以是（-

3

8

，-

1

4

）．（答案不唯一）      （14'）

點評：本題主要考查了函數奇偶性的判斷，二分法，以及對數的運算性質，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．屬于對數函數的綜合題．