Question

點A，B，C，D在拋物線x²=4y上，A，D關于拋物線的對稱軸對稱．過點D的切線平行于BC，點D到到AB，AC距離分別為d₁，d₂，且d1+d2=

2

|AD|．
（Ⅰ）試判斷△ABC的形狀（銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形），并說明理由；
（Ⅱ）若△ABC的面積為240，求點A的坐標和BC的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數的幾何意義即可得出直線BC的斜率，進而可得直線AC、AB的斜率之間的關系，即可判斷三角形的形狀；
（Ⅱ）利用點A的坐標表示弦長|AC|、|AB|，進而利用面積即可得出坐標，及直線方程．

解答：解：（Ⅰ）由x²=4y得，y′=

1

2

x．設D(x0，

1

4

x

2 0

)，由導數的幾何意義知BC的斜率kBC=

1

2

x0，
由題意知A(-x0，

1

4

x

2 0

)，設C(x1，

1

4

x

2 1

)，B(x2，

1

4

x

2 2

)，
則kBC=

1 4 x 2 1 - 1 4 x 2 2

x1-x2

=

1

2

x0⇒x2=2x0-x1，所以B(2x0-x1，

1

4

(2x0-x1)2)，kAC=

1 4 ( x 2 1 - x 2 0 )

x1-x0

=

1

4

(x1-x0)，kAB=

1 4 [(2x0-x1)2- x 2 0 ]

2x0-x1+x0

=

1

4

(x0-x1)，
所以k_AC=-k_AB，∴∠DAC=∠DAB，∴d₁=d₂，
又由d1+d2=

2

|AD|得sin∠DAC=

2

2

，
∴∠DAC=∠DAB=45°，故△ABC是直角三角形．
（Ⅱ）由（1）知，不妨設C在AD上方，AB的方程為：y-

1

4

x

2 0

=-(x+x0)，
由

y- 1 4 x 2 0 =-(x+x0) x2=4y

得到另一個交點B(x0-4，

1

4

(x0-4)2)．
由AC：y-

1

4

x

2 0

=x+x0，
由

y- 1 4 x 2 0 =(x+x0) x2=4y

得到另一個交點C(x0+4，

1

4

(x0+4)2)．
∴|AB|=

2

|(x0-4)-(-x0)|=

2

|2x0-4|，|AC|=

2

|(x0+4)-(-x0)|=

2

|2x0+4|，
∴S△ABC=

1

2

•2|2x0-4||2x0+4|=240，
解得x₀=±8，∴A（8，16）或（-8，16），
若x₀=8時，B（4，4），C（12，36），BC：y=4x-12，
若x₀=-8時，B（-12，36），C（-4，4），BC：y=-4x-12．

點評：熟練掌握導數的幾何意義、直線的斜率與傾斜角的關系、直線與拋物線相交問題、弦長公式即可得出．