Question

函數，其中為實常數。
（1）討論的單調性；
（2）不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；
（3）若，設，。是否存在實常數，既使又使對一切恒成立？若存在，試找出的一個值，并證明；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）當時，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當時，增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）；（3）存在，如等，證明見詳解．

試題分析：（1）首先求導函數，然后對參數進行分類討論的單調性；（2）根據函數的解析式可將問題轉化為的最大值，再利用導數研究函數單調性來確定其最值；（3）假設存在，將問題轉化為證明：及成立，然后可考慮綜合法與分析法進行證明．
試題解析：（1）定義域為，
①當時，，在定義域上單增；
②當時，當時，，單增；當時，，單減．
增區(qū)間：，減區(qū)間：．
綜上可知：當時，增區(qū)間，無減區(qū)間；當時，增區(qū)間：，減區(qū)間：．
（2）對任意恒成立
，令，
，在上單增，
，，故的取值范圍為．
（3）存在，如等．下面證明：
及成立．
①先證，注意，
這只要證（*）即可，
容易證明對恒成立(這里證略)，取即可得上式成立．
讓分別代入（*）式再相加即證：，
于是．
②再證，
法一：
，
只須證，構造證明函數不等式：，
令，，
當時，在上單調遞減，
又當時，恒有，即恒成立．
，取，則有，
讓分別代入上式再相加即證：
，
即證．
法二：，
，
又故不等式成立．
（注意：此題也可用數學歸納法！）．