Question

(理)已知點B₁(1，y₁),B₂(2,y₂),B₃(3,y₃),…,B_n(n,y_n),…(n∈N^*)順次為某直線l上的點，點A₁(x₁,0),A₂(x₂,0),…,A_n(x_n,0)，…順次為x軸上的點，其中x₁=a(0＜a≤1).對于任意的n∈N^*,△A_nB_nA_n+1是以B_n為頂點的等腰三角形.

(1)證明x_n+2-x_n是常數，并求數列{x_n}的通項公式.

(2)若l的方程為y=,試問在△A_nB_nA_n+1(n∈N^*)中是否存在直角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

(文)已知函數f(x)=ax³x²+cx+d(a、c、d∈R)滿足f(0)=0,f′(1)=0,且f′(x)≥0在R上恒成立.

(1)求a、c、d的值.

(2)若h(x)=x²-bx+,解不等式f′(x)+h(x)＜0.

(3)是否存在實數m,使函數g(x)=f′(x)-mx在區間［m,m+2］上有最小值-5?若存在，請求出實數m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(理)解：(1)∵△A_nB_nA_n+1構成以B_n(n,y_n)為頂點的等腰三角形，

∴=n,即x_n+x_n+1=2n(n∈N^*)①.從而x_n+1+x_n+2=2(n+1)②,               

由②-①,得x_n+2-x_n=2為常數.

顯然x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1,…及x₂,x₄,x₆,…,x_2n,…分別成等差數列.

∴x_2n-1=x₁+(n-1)×2=(2n-1)+a-1,

x_2n=x₂+(n-1)×2=(2-a)+(n-1)×2=2n-a(n∈N^*).

∴{x_n}的通項公式為

x_n=                                                  

(2)當n為奇數時，A_n(n+a-1,0),A_n+1(n+1-a,0),

∴|A_nA_n+1|=2(1-a).

當n為偶數時，A_n(n-a,0),A_n+1(n+a,0),∴|A_nA_n+1|=2a.

作B_nC_n⊥x軸于C_n,由于點B_n(n,y_n)在直線l上,

∴y_n=,即|B_nC_n|=.                                       

要使△A_nB_nA_n+1為直角三角形當且僅當|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|,

∴當n為奇數時，有2(1-a)=2(),即12a=11-3n,                        (※)

當n=1時，a=,當n=3時，a=,當n≥5時，方程(※)無解.

當n為偶數時，有12a=3n+1.同理,求得a=.                               

綜上所述，當a=或a=或a=時，存在直角三角形.                    

(文)解：(1)∵f(0)=0,∴d=0.

∴f′(x)=ax²-x+c及f′(1)=0,有a+c=.

∵f′(x)≥0在R上恒成立，即ax²x+c≥0恒成立,

即ax²x+-a≥0恒成立，                                            

顯然a=0時，上式不能恒成立，

∴a≠0,函數f′(x)=ax²x+-a是二次函數.

由于對一切x∈R,都有f′(x)≥0,于是由二次函數的性質,

可得

即

解得a=.

∴a=c=.                                                               

(2)∵a=c=,

∴f′(x)=x²x+.

∴由f′(x)+h(x)＜0,

即x²x++x²-bx+＜0,

即x²-(b+)x+＜0,即(x-b)(x)＜0.                                        

當b＞時，解集為(,b);

當b＜時,解集為(b,)；

當b=時，解集為.                                                     

(3)∵a=c=,

∴f′(x)=x²x+.

∴g(x)=f′(x)-mx=x²-(+m)x+.

該函數圖象開口向上，且對稱軸為x=2m+1.

假設存在實數m使函數g(x)=f′(x)-mx=x²-(+m)x+在區間［m,m+2］上有最小值-5,

①當m＜-1時，2m+1＜m,函數g(x)在區間［m,m+2］上是遞增的,

∴g(m)=-5,即m²-(+m)m+=-5,

解得m=-3或m=.∵＞-1,∴m=舍去.                                   

②當-1≤m＜1時，m≤2m+1＜m+2，函數g(x)在區間［m,2m+1］上是遞減的,

而在區間［2m+1,m+2］上是遞增的，

∴g(2m+1)=-5,

即(2m+1)²-(+m)(2m+1)+=-5.

解得m=或m=+,均應舍去.                           

③當m≥1時，2m+1≥m+2，函數g(x)在區間［m,m+2］上遞減，

∴g(m+2)=-5,

即(m+2)²-(+m)(m+2)+=-5.

解得m=-1-2或m=-1+2,其中m=-1-2應舍去.

綜上可得，當m=-3或m=-1+2時，

函數g(x)=f′(x)-mx在區間［m,m+2］上有最小值-5.