Question

已知關于的函數，其導函數為．記函數 在區間上的最大值為．
(1) 如果函數在處有極值，試確定的值；
(2) 若，證明對任意的，都有；
(3) 若對任意的恒成立，試求的最大值．

Answer 1

（1），；（2）證明詳見解析；（3）.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求函數的極值和最值等基礎知識，考查學生的轉化能力、分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，先對求導，由于在x=1處有極值，則，，列出方程組，解出b和c的值，由于得到了兩組值，則需要驗證看是否符合已知條件，若不符合需舍掉；第二問，可以利用二次函數圖象和性質直接證明，也可以利用反證法證明出矛盾，從而得到正確結論；第三問，結合第二問的結論，可以直接得到時的情況，當時需分，，三種情況討論，最后綜合所有情況再得出結論.
試題解析：（1） ∵，由在處有極值，可得
，解得，或           2分
若，，則，此時函數沒有極值； 3分
若，，則,此時當變化時，，的變化情況如下表：

	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴ 當時，有極大值，故，即為所求。           4分
（2）證法一：
當時，函數的對稱軸位于區間之外
∴ 在區間上的最值在兩端點處取得，故應是和中較大的一個
∴ ，即     8分
證法二（反證法）：因為，所以函數的對稱軸位于區間之外，
∴ 在區間上的最值在兩端點處取得，故應是和中較大的一個，
假設，則，將上述兩式相加得:          6分
,得，產生矛盾，
∴                                                         8分
（3）
（ⅰ）當時，由（2）可知；                                         9分
（ⅱ）當時，函數的對稱軸位于區間之內，
此時，由，有
①若，則，則，
于是
                                            11分
②若，則，則
于是       13分
綜上可知，對任意的、都有
而當，時，在區間上的最大值 ，故對任意的、恒成立的的最大值為。                                              14分