Question

如右圖所示，在三棱錐A－BCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點．

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)若AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形；
(3)當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形

Answer 1

(1)證明：在△ABC中，E，F分別是邊AB，BC中點，所以EF∥AC，且EF＝AC，同理有GH∥AC，且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，故四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)證明：仿(1)中分析，EH∥BD且EH＝BD，若AC＝BD，則有EH＝EF，又因為四邊形EFGH是平行四邊形，
∴四邊形EFGH是菱形．
(3)由(2)知，AC＝BD(四邊形EFGH是菱形，欲使EFGH是正方形，還要得到∠EFG＝90°，而∠EFG與異面直線AC，BD所成的角有關，故還要加上條件AC⊥BD.∴當AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH是正方形．

略