Question

已知圓經過點（-1，0）和（3，0）且與x=4相切
（1）求圓的方程；
（2）若直線l的斜率是2，并且截圓所得到的弦長為2

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據圓經過兩點坐標，求出圓心橫坐標，再由圓與x=4相切，求出圓的半徑，進而求出圓心縱坐標，確定出圓心坐標，即可得出圓的方程；
（2）根據直線l斜率為2，設直線l方程為y=2x+m，分兩種情況考慮：（i）若圓心是（1，

5

）；（ii）若圓心是（1，-

5

），分別利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線l的距離，利用點到直線的距離公式列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出直線l方程．

解答：解：（1）設圓心為（a，b），半徑為r，
∵（-1，0）、（3，0）在圓上，
∴a=

-1+3

2

=1，
又圓與x=4相切，∴半徑r=4-1=3，
∴b²+2²=3²，
∴b²=5，∴b=±

5

，
∴所求的圓的方程是（x-1）²+（y-

5

）²=9或（x-1）²+（y+

5

）²=9；
（2）設直線方程為y=2x+m，
（ⅰ）若圓心是（1，

5

），弦心距d=

9-( 5 )2

=2，
∴

|2×1- 5 +m|

5

=2，
∴2-

5

+m=±2

5

，
∴m=3

5

-2或m=-

5

-2，
此時，直線方程是y=2x+3

5

-2或y=2x-

5

-2；
（ⅱ）若圓心是（1，-

5

），同理得

|2×1+ 5 +m|

5

=2，
∴2+

5

+m=±2

5

，
∴m=

5

-2或m=-3

5

-2，
此時，直線方程是y=2x-3

5

-2或y=2x-

5

+2．

點評：此題考查了圓的標準方程，以及直線與圓的位置關系，涉及的知識有：兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．