Question

已知橢圓的左頂點A（-2，0），過右焦點F且垂直于長軸的弦長為3．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點A的直線l與橢圓交于點Q，與y軸交于點R，過原點與l平行的直線與橢圓交于點P，求證：為定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意，可求得a=2，b²=3，從而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）由題意知，直線AQ，OP斜率存在，故設為k，則直線AQ的方程為y=k（x+2），直線OP的方程為y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2，A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立方程組，得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，利用韋達定理可得x₁+x₂=-，x₁x₂=，從而求得|AQ|=；再設y=kx與橢圓交另一點為M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），可求得，|x₄|=，從而得|OP|=•；繼而可求得的值．
解答：解：（1）a=2，設過右焦點F且垂直于長軸的弦為MN，將M（c，y_M）代入橢圓方程+=1，解得y_M=±，…（2分）
故=3，可得b²=3．                                                …（4分）
所以，橢圓方程為+=1．                                        …（6分）
（2）由題意知，直線AQ，OP斜率存在，故設為k，則直線AQ的方程為y=k（x+2），直線OP的方程為y=kx．可得R（0，2k），
則|AR|=2，…（8分）
設A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯立方程組，
消去y得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，
x₁+x₂=-，x₁x₂=，
則|AQ|=|x₁-x₂|==．      …（11分）
設y=kx與橢圓交另一點為M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），聯立方程組，
消去y得（4k²+3）x²-12=0，|x₄|=，
所以|OP|=|x₄|=•．                             …（13分）
故==2．
所以等于定值2…（15分）
點評：本題主要考橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．