Question

設定義在R的函數，R. 當時，取得極大值，且函數的圖象關于點對稱.

 （I）求函數的表達式；

 （II）判斷函數的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標在區間上，并說明理由；

 （III）設，（），求證：.

Answer 1

（I）.

（II）兩點的坐標分別為或.

（III）見解析

解析:

（I）將函數的圖象向右平移一個單位得到函數的圖象，  

    ∴ 函數的圖象關于點對稱，即為奇函數. 

    ∴.                       ……………………………..2分

    由題意可得，解得.

    ∴.                          ……………………………..4分

   （II）存在滿足題意的兩點.                         ……………………………..6分

由（I）得.

假設存在兩切點，，且.

則.   

∵，∴或，

即或. 

從而可求得兩點的坐標分別為或.

                                                  …………………………….9分

（III）∵當時，，∴ 在上遞減.

 由已知得，∴，即.

                                                  ……………………………..11分

又時，；時，，

 ∴在上遞增，在上遞減.

∵，∴.  

∵，且，

∴.          ……………………………13分

∴.  ………………………..14分