Question

某市規定，高三畢業生三年在校期間參加不少于80小時的社區服務才合格．教育部門在全市隨機抽取200位學生參加社區服務的數據為樣本，按時間段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（單位：小時）進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若該市高三畢業生共有10萬人，利用抽取的樣本試估計全市畢業生社區服務不合格的人數；
（Ⅲ）按時間段將不少于90小時的數據分為[90，95），[95，100]兩層，利用分層抽樣的方法從樣本中抽取8個數據，再從這8個數據中隨機抽取2個，求抽取的兩個數據至少有一個在[95，100]的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,分層抽樣方法,頻率分布直方圖

專題：概率與統計

分析：（I）根據各組數據的累積頻率為1，及各組概率等于對應矩形的面積，構造關于a的方程，可求出a的值；
（Ⅱ）根據已知中的頻率分布直方圖，可得從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區服務時間不合格的概率估計為：P=

5

200

=

1

40

，結合該市高三畢業生共有10萬人，可得全市畢業生社區服務不合格的人數；
（Ⅲ）分別出8個數據中隨機抽取2個的基本事件總數和兩個數據至少有一個在[95，100]的基本事件個數，代入古典概型概率計算公式，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得：（0.005+0.040+0.075+a+0.020）×5=1，
解得：a=0.060；                 …3分
（Ⅱ）根據題意，參加社區服務時間在時間段[75，80）小時的學生人數為200×0.005×5=5（人），
所以抽取的200位學生中，參加社區服務時間在時間段[75，80）的學生人數5人．
所以從全市高中學生中任意選取一人，其參加社區服務時間不合格的概率估計為：P=

5

200

=

1

40

，
由此估計全市畢業生社區服務不合格的人數為：100000×

1

40

=2500．…8分
（Ⅲ）參加社區服務時間在時間段[90，95）小時的學生人數為200×0.060×5=60（人），
參加社區服務時間在時間段[95，100]小時的學生人數為200×0.020×5=20（人），
利用分層抽樣的方法從樣本中抽取8個，則在時間段[90，95）的有6個，分別記為a、b、c、d、e、f在時間段[95，100]的有2個，分別記為A、B，從中任取2個，不同的取法是：
ab，ac，ad，ae，af，aA，aB，bc，bd，be，bf，bA，bB，cd，ce，cf，cA，cB，de，df，dA，dB，ef，eA，eB，fA，fB，AB，共有28種，
其中至少有一個在[95，100]的不同取法是：
aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，eA，eB，fA，fB，AB，共13種，
所以，抽取的兩個數據至少有一個落在[95，100]的概率為

13

28

．…13分．

點評：本題考查的知識點是古典概型概率計算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解答的關鍵．