Question

已知函數f（x）=log₂x-2log₂（x+c），其中c＞0．則“對于任意的x∈（0，+∞）有f（x）≤1恒成立”的充要條件是

 

．

Answer 1

分析：利用對數的對數法則，結合充要條件的定義進行求解．

解答：解：∵f（x）=log₂x-2log₂（x+c），
∴要使函數有意義，則

x＞0 x+c＞0

，即x＞0，
又由f（x）=log₂x-2log₂（x+c）≤1，
得log₂

x

2

≤log₂（x+c）²，
即

x

2

≤（x+c）²，在∈（0，+∞）恒成立，
即x+c≥

x 2

=

x

2

，
∴c≥-x+

x

2

=-（

x

-

1

2 2

）²+

1

8

，
設g（x）=-（

x

-

1

2 2

）²+

1

8

，
∵x＞0，
∴g（x）=-（

x

-

1

2 2

）²+

1

8

≤

1

8

，
∴c≥

1

8

，
∴“對于任意的x∈（0，+∞）有f（x）≤1恒成立”的充要條件是c≥

1

8

．
故答案為：c≥

1

8

．

點評：本題主要考查充要條件的應用，利用對數的運算性質，結合二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．