Question

.(12分)如圖，在四棱臺ABCD－A₁B₁C₁D₁中，下底ABCD是邊長為2的正方形，上底A₁B₁C₁D₁是邊長為1的正方形，側棱DD₁⊥平面ABCD，DD₁＝2.
(1)求證：B₁B∥平面D₁AC；
(2)求證：平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁.

Answer 1

證明：　(1)設AC∩BD＝E，連結D₁E，
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁.
∴B₁D₁∥BE，∵B₁D₁＝BE＝，
∴四邊形B₁D₁EB是平行四邊形，
所以B₁B∥D₁E.
又因為B₁B?平面D₁AC，D₁E?平面D₁AC，
所以B₁B∥平面D₁AC   ---------------------------------------6分
(2)證明：側棱DD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥DD₁.
∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD.
∵DD₁與DB是平面B₁BDD₁內的兩條相交直線，
∴AC⊥平面B₁BDD₁
∵AC?平面D₁AC，∴平面D₁AC⊥平面B₁BDD₁.---------------------12分

略