Question

已知平面上三個向量

a

，

b

，

c

的模均為1，它們相互之間的夾角為120°，
（1）求證：(

b

-

c

)⊥

a

；
（2）若|t

a

+

b

+

c

|＞1（t∈R），求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據已知中三個向量

a

，

b

，

c

的模均為1，它們相互之間的夾角為120°，可得

b

•

a

=

c

•

a

=

b

•

c

=-

1

2

，進而可得(

b

-

c

)•

a

=0，結合向量垂直的充要條件，可得結論
（2）由|t

a

+

b

+

c

|＞1，結合（1）中結論，可得t²-2t＞0，解不等式可得t的取值范圍．

解答：證明：（1）∵三個向量

a

，

b

，

c

的模均為1，它們相互之間的夾角為120°，
∴

b

•

a

=

c

•

a

=

b

•

c

=-

1

2

，
故(

b

-

c

)•

a

=

b

•

a

-

c

•

a

=0，
∴(

b

-

c

)⊥

a

…（5分）
解：（2）|t

a

+

b

+

c

|2=t2

a

2+

b

2+

c

2+2t

a

•

b

+2t

a

•

c

+2

b

•

c

=t2+2-2t-1=t2-2t+1＞1，
∴t²-2t＞0，
解得t＜0或t＞2，
故t的取值范圍為t＜0或t＞2…（13分）

點評：本題考查的知識點是數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，平面向量數量積的坐標表示，模，夾角，熟練掌握平面向量數量積的運算是解答的關鍵．