Question

已知A={x|1＜log₂x＜3，x∈N^*}，B={x||x-6|＜3，x∈N^*}試問：
（1）從集合A和集合B中各取一個元素作直角坐標系中點的坐標，共可得到多少個不同的點？
（2）從A∪B中取出三個不同的元素組成三位數，從左到右的數字要逐漸增大，這樣的三位數有多少個？
（3）從集合A中取出一個元素，從集合B中取出三個元素，可以組成多少個無重復數字且比4000大的自然數？

Answer 1

分析：（1）A中的元素作為橫標，B中的元素作為縱標，有5×5=25種結果，兩個集合中的元素有三個相同，這幾個就不用橫標和縱標交換位置，當橫標是8時，共有5種結果，減去重復的情況，得到結果
（2）取出三個不同的元素組成三位數，從左到右的數字要逐漸增大，這樣就是一個從6個數字中取3個數字的一個組合，三個數字取出后，大小順序是確定的一種情況．
（3）本題是一個分類計數問題，當A中取3的有：C₅³A₃¹A₃³，當A中不取3的有：A₅⁴，根據分類計數原理知共有共300個．

解答：解：∵A={x|1＜log₂x＜3，x∈N^*}={3，4，5，6，7}，
B={x||x-6|＜3，x∈N^*}={4，5，6，7，8}
（1）從坐標系中各取一個元素，作為直角坐標系中點的坐標，
A中的元素作為橫標，B中的元素作為縱標，有5×5=25種結果，
兩個集合中的元素有四個相同，這幾個就不用橫標和縱標交換位置，排除四個，
根據分類計數原理知，共有5×5-4=21（個）
（2）∵A∪B={3，4，5，6，7，8}，
∴取出三個不同的元素組成三位數，從左到右的數字要逐漸增大，
這樣就是一個從6個數字中取3個數字的一個組合，共有C₆³=20
（3）由題意知本題是一個分類計數問題，
要組成比4000大的數字，
當A中取3的有：C₅³A₃¹A₃³=180； 
當A中不取3的有：A₅⁴=120．
根據分類計數原理知共有共300個．

點評：本題考查排列組合的實際應用，本題解題的關鍵是注意解題時做到不重不漏，第一問注意去掉橫標和縱標交換以后重復的情況，本題是一個中檔題目，也是一個易錯題．